Acredita-se que por volta
do ano 300 a.C. as ideias da Trigonometria já existiam entre os gregos e que
tenham surgido para resolver problemas de Astronomia e de navegação. Foram as
descobertas de Tales e de Pitágoras que permitiram grandes avanços em questões
que envolvem medições que não podem ser realizadas diretamente.
Atualmente,
as ideias da Trigonometria são aplicadas nas telecomunicações, na Medicina, na
Física, na Sociologia e em muitas outras áreas científicas.
Pitágoras
foi um homem brilhante, pois a escola fundada por ele em Cretona, sul da
Itália, teve papel importantíssimo no desenvolvimento da Matemática.
As equações foram criadas há muito tempo para resolver problemas práticos e teóricos. Uma equação do 1º grau escrita na forma geral é igual a ax + b = 0 e, uma equação do 2º grau ax² + bx + c = 0. Transformando cada uma das expressões, temos:
Existem vários tipos de equações:
O objetivo desses procedimentos é isolar a incógnita. Esse é o caminho para a resolução de equações de 1º Grau e de vários outros tipos de equações, como veremos a seguir.
3y² + 7 =
82
3y² = 82 - 7
3y² = 75
y² = 75 : 3
y² = 25
y=√25 y = +-5
Lembrando que isolar a incógnita é recurso que funciona apenas com algumas equações de 2º Grau. Nesse caso, x² - 5x + 6 = 0 não podemos isolar a incógnita.
Veja outro exemplo:
Nas equações literais, deve-se ter o cuidado de explicitar sempre a incógnita.
5ax - 2ax = 2a² + 7a²
3ax = 9a²
x = 9a²: 3a
Atividade
1. Explique, com suas palavras, o que é equação e o que é incógnita.
2. O que é uma equação do 1º grau?
3. Dê exemplo de uma equação de 2º grau.
4. Invente uma equação que não tenha solução.
5. O que significa dizer que uma equação "se reduz a uma equação de 1º grau"?
A palavra TRIGONOMETRIA é formada por três radicais gregos: TRI: três GONOS: ângulos METRON: medir Daí seu significado: medidas de triângulos. O estudo da Trigonometria originou-se há muito tempo, com a finalidade de resolver problemas práticos relacionados à navegação e à Astronomia, principalmente entre os gregos e os egípcios. Sabe-se que foi o astrônomo grego Hiparco de Niceia (190 a.C. - 125a.C.), considerado o pai da Astronomia, quem empregou pela primeira vez relações entre lados e ângulos de um triângulo retângulo, por volta de 140 a.C. Daí ser considerado o precursor da Trigonometria.
A trigonometria é caracterizada como um estudo que relaciona lados e ângulos de um triângulo retângulo.
O Teorema de Pitágoras diz que:
A soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.
O enunciado acima é equivalente a fórmula:
a² = b² + c²
Onde:
a é a hipotenusa;
b e c são são os catetos.
O Teorema de Pitágoras é um dos mais famosos teoremas da matemática. Este teorema é aplicado aos comprimentos dos lados do triângulo retângulo – triângulo que possui um ângulo reto, isto é, que mede 90°.
O Teorema de Pitágoras diz que: “O quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos”.
A hipotenusa é o lado do triângulo que tem a maior medida e fica oposta ao ângulo reto, enquanto os catetos existem dois: o cateto adjacente e o cateto oposto. O cateto adjacente é aquele que fica ao lado de um ângulo e o cateto oposto fica em frente a um determinado ângulo. Veja no triângulo abaixo:
Hipotenusa: a hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo reto.
Cateto Oposto: o cateto oposto fica oposto a um dos ângulos.
Cateto Adjacente: o cateto adjacente fica ao lado de um dos ângulos.
EXERCÍCIO
01. Calcule a medida da hipotenusa para o triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B, sendo que os catetos AB e BC, têm medidas de 6 cm e 8 cm, respectivamente.
Dessa relação advém as razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente. Sendo:
Seno - a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.
sen B = b cateto oposto
a hipotenusa
Cosseno - a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.
cos B = c cateto adjacente
a hipotenusa
Tangente - a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente a esse mesmo ângulo.
tg B = b cateto oposto
c cateto adjacente
Exemplo:
Seja o triângulo ABC, retângulo em C, da figura seguir:
Os lados do triângulo retângulo são chamados de:
Cateto Adjacente
Cateto Oposto
Hipotenusa
O Seno de um ângulo agudo em todo triângulo retângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
O Cosseno de um ângulo agudo em qualquer triângulo retângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
A Tangente de um ângulo agudo em todo triângulo retângulo é a razão entre a medida cateto oposto a esse ângulo e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.
EXERCÍCIO
02. Seja os triângulos a seguir, determine o seno, cosseno e a tangente dos ângulos agudos representados por α e β.
COVID-19, não podemos ver seu rosto, seu olhar, nem seu cheiro.
Sentimos o terror em todo lado, por causa de sua impressão digital.
Você conseguiu desorganizar toda a nossa comunidade.
Com sua impressão digital, você entra em contato com muitos deixando sua marca.
Os cientistas estão procurando suas digitais e seu prazo de atuação findará.
O seu rosto irá ser desmascarado e suas digitais confiscadas pela ciência.
Seu fim de atuação, então chegará ao fim.
O conjunto dos números reais, representado pela letra R, possui vários subconjuntos. Vamos abordar nesta página os subconjuntos que são chamados de intervalos reais, e que são determinados por meio de desigualdades.
Imagine, por exemplo, a infinidade de números reais existentes entre os números 1 e 2. O intervalo pode ser representado de três formas diferentes.
Utilizando colchetes
I = ]1, 2[
Utilizando desigualdades
I = {x∈R | 1<x<2}
Utilizando a reta real
Perceba que representamos o intervalo entre 1 e 2, porém sem incluir esses dois extremos. Neste caso, dizemos que o intervalo é aberto nos extremos 1 e 2.
Agora vamos analisar o intervalo é fechado nos dois extremos):
Utilizando os colchetes
I = [1, 2]
Utilizando as desigualdades
I = {x∈R | 1≤x≤2}
Utilizando a reta real
Observou a diferença? Vamos ver as operações com intervalos reais.
A utilização da reta real na resolução de operações entre conjuntos formados por intervalos reais é muito importante. Através dela é possível observar com mais facilidade as operações de união, interseção e diferença entre conjuntos. Veja o exemplo:
Considere os conjuntos abaixo:
A = ]1, 3]
B = [2, 4[
Utilizaremos a reta real para representaremos os intervalos formados pela união e pela interseção de A e B.
Temos:
A∪B = ]1, 4[
A∩B = [2, 3]
Depois de assistir o vídeo e rever o assunto na página 35 do livro didático, deixe registrado no seu caderno a resposta do exercício proposto abaixo:
1) Represente os conjuntos abaixo sob a forma de intervalo
